การหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต

ให้     S_n          แทนผลบวก   n   พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต

                        ซึ่งมี      a₁     เป็นพจน์แรก และ   r    เป็นอัตราส่วนร่วม

                        S_n       =     a₁    +    a₁r + a₁r²  + … + a₁r ^n-2+ a₁r ^n-1            --- (1)

                        สมการ (1) คูณ  r  จะได้

                        rS_n      =     a₁r + a₁r²+ a₁r³ + … + a₁r ^n-2+ a₁r ^n-1 +  a₁r ⁿ  --- (2)

                        สมการ (1) – (2)  จะได้

                       S_n  –  rS_n     =    a₁-a₁rⁿ

                       (1 –  r)S_n     =    a₁(1-rⁿ)

           

สรุป   ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต

          

                             เมื่อ     S_n   แทนผลบวก   n   พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต

                                         a₁    แทนพจน์ที่ 1

                                        a_n    แทนพจน์ที่   n

                                          r    แทนอัตราส่วนร่วม  พจน์ที่ n+1 หารด้วยพจน์ที่ n

ที่มา :http://www.snr.ac.th/elearning/suvadee/content2-2-2.htm

สถิติเบื้องต้น

สถิติเบื้องต้น   ข้อมูลสถิติหรือข้อมูล  หมายถึง  ข้อเท็จจริงของเรื่องใดเรื่องหนึ่งที่เราสนใจจะศึกษา  ซึ่งอาจจะเป็นตัวเลขหรือข้อความก็ได้

- จำนวนคนที่เป็นโรคหัวใจในแต่ละเดือน

- ปริมาณการส่งออกข้าวของประเทศไทยในปีนี้เพิ่มขึ้นจากปีที่แล้ว 

การจำแนกข้อมูล

 1.)  ข้อมูลที่จำแนกตามลักษณะของข้อมูล  แบ่งเป็น  2  ประเภท

1.1  ข้อมูลเชิงปริมาณ  คือข้อมูลที่ใช้แทนขนาดหรือปริมาณวัดออกมาเป็นค่าตัวเลขที่สามารถนำมาใช้เปรียบเทียบขนาดได้โดยตรง

1.2  ข้อมูลเชิงคุณภาพ  คือข้อมูลที่ไม่สามารถวัดออกมาเป็นค่าตัวเลขโดยตรงได้  แต่วัดออกมาในเชิงคุณภาพได้  เช่น เพศของสมาชิกในครอบครัว  ซึ่งการวิเคราะห์ข้อมูลประเภทนี้  ส่วนใหญ่ทำโดยการนับจำนวนจำแนกตามลักษณะเชิงคุณภาพ

2.)  ข้อมูลจำแนกตามวิธีการเก็บรวบรวม

2.1  ข้อมูลปฐมภูมิ  คือ  ข้อมูลที่ได้จากการรวบรวมจากผู้ที่ให้ข้อมูลหรือแหล่งที่มาโดยตรง

2.1.1  การสำมะโน  คือ  การเก็บรวบรวมข้อมูลจากทุกหน่วยของประชากรที่ต้องการศึกษา

2.1.2  การสำรวจจากกลุ่มตัวอย่าง  คือ  การเก็บรวบรวมข้อมูลที่ประกอบด้วยตัวแทนจากทุกลักษณะของประชากรที่ต้องการศึกษาในทางปฏิบัติ  ไม่ว่าจะทำการสำมะโนหรือการสำรวจ  นิยมปฏิบัติอยู่  5  วิธี  คือ

         1.  การสัมภาษณ์  นิยมใช้กันมาก  เพราะจะได้คำตอบทันที  นอกจากนี้หากผู้ตอบไม่เข้าใจก็สามารถอธิบายเพิ่มเติมได้  แต่ผู้สัมภาษณ์ต้องซื่อสัตย์  และเข้าใจจุดมุ่งหมายของการเก็บข้อมูลอย่างแท้จริง

         2.  การแจกแบบสอบถาม  วิธีนี้ประหยัดเวลาและค่าใช้จ่ายมาก  สะดวกและสบายใจต่อการตอบแบบสอบถาม  แต่ก็มีข้อเสียหลายประการ  เช่น  ต้องใช้ในเฉพาะผที่มีการศึกษา  มีไปรษณีย์ไปถึง  คำถามต้องชัดเจน  อาจจะไม่ได้รับคืนตามเวลาหรือจำนวนที่ต้องการ  จึงต้องส่งแบบสอบถามออกไปเป็นจำนวนมากๆ  หรือไปแจกและเก็บด้วยตนเอง

          3. การสอบถามทางโทรศัพท์  เป็นวิธีที่ง่าย  เสียค่าใช้จ่ายน้อย  ต้องเป็นการสัมภาษณ์อย่างสั้นๆ  ตอบได้ทันทีโดยไม่ต้องเสียเวลาค้นหาหลักฐาน  ใช้ได้เฉพาะส่วนที่มีโทรศัพท์เท่านั้น

          4.  การสังเกต  เป็นข้อมูลที่ได้จากการสังเกตแล้วบันทึกสิ่งที่เราสนใจเอาไว้  ต้องใช้การสังเกตเป็นช่วงๆของเวลาอย่างต่อเนื่องกัน  ข้อมูลจะน่าเชื่อถือได้มากน้อยขึ้นอยู่กับความเข้าใจและความชำนาญของผู้สังเกต  เช่น  ข้อมูลเกี่ยวกับการใช้บริการต่างๆ  เช่น  บริการรถโดยสาร  การบริการสหกรณ์  ความหนาแน่นของการใช้ถนนสายต่างๆ  เป็นต้น  วิธีนี้นิยมใช้ประกอบกับการเก็บข้อมูลวิธีอื่นๆ

         5.  การทดลอง  เป็นการเก็บรวบรวมข้อมูลที่มีการทดลอง  ซึ่งมักจะใช้เวลาในการทดลองนานๆ  ทำซ้ำๆ

2.2  ข้อมูลทุติยภูมิ  คือ  ข้อมูลที่ต้องเก็บรวบรวมจากผู้ที่ให้ข้อมูล  หรคือแหล่งที่มาโดยตรง  แต่ได้จากข้อมูลที่มีผู้อื่นเก็บรวบรวมไว้แล้ว

3.)  วิธีการเก็บรวบรวมข้อมูลทุติยภูมิ แหล่งที่มาของข้อมูลทุติยภูมิที่สำคัญมีอยู่  2  แหล่ง  คือ

     1.  รายงานต่างๆของหน่วยราชการและองค์การของรัฐบาล เช่น  ทะเบียนประวัติบุคลากร  ประวัติคนไข้  ทะเบียนนักเรียนนักศึกษา  เป็นต้น

     2.  รายงานและบทความจากหนังสือ  หรือรายงานจากหน่วยงานเอกชน  ซึ่งจะมีการพิมพ์เผยแพร่เฉพาะในส่วนของข้อมูลที่เผยแพร่ได้ในรูปของรายงานต่างๆ

 ที่มา:http://301math.exteen.com/20080112/entry-1

ค่าสัมบูรณ์์

ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนใด ๆ คือ ระยะทางที่จำนวนนั้น ๆ อยู่ห่างจากศูนย์ (0) บนเส้นจำนวนไม่ว่าจะอยู่ทางซ้าย หรือทางขวาของศูนย์ ซึ่งค่าสัมบูรณ์ของจำนวนใด ๆ จะมีค่าเป็นบวกเสมอ กล่าวคือ

 1 มีระยะห่างจาก 0 เท่ากับ 1 หน่วย นั้นคือ ค่าสัมบูรณ์ของ 1 เท่ากับ 1

-1 มีระยะห่างจาก 0 เท่ากับ 1 หน่วย นั้นคือ ค่าสัมบูรณ์ของ -1 เท่ากับ 1

เราจะใช้สัญลักษณ์ที่ใช้แทนค่าสัมบูรณ์ คือ | | เช่น

| -4 | คือ ค่าสัมบูรณ์ของ -4 คือ 4

| 6 | คือ ค่าสัมบูรณ์ของ 6 คือ 6

ข้อสังเกต

1.จำนวนเต็มลบซึ่งมีค่าน้อยกว่า เมื่อเปลี่ยนเป็นค่าสัมบูรณ์แล้วจะมีค่ามากกว่า

     เช่น -25 < -18 แต่ | -25 | > | -18 |

2. ค่สัมบูรณ์ของจำนวนเต็มลบอาจมากกว่าหรือน้อยกว่าค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเต็มบวกก็ได้ ขึ้นอยู่กับ     ตัวเลข เช่น | -4 | > | 2 | แต่ -4 < 2    จะพบว่า จำนวนเต็มลบและจำนวนเต็มบวกที่มีค่าสัมบูรณ์เท่ากัน จะอยู่คนละข้างและห่างจาก 0 เท่ากัน อย่างเช่น

| -5 | = 5 และ | 5 | = 5 เราอาจจะกล่าวอีกนัยหนึ่งว่า

-5 เป็นจำนวนตรงข้ามของ 5 และ

5 เป็นจำนวนตรงข้ามของ -5

ข้อควรทราบ

เป็นจำนวนตรงข้ามของตัวมันเอง

ในการเขียนจำนวนตรงข้าม เราสามารถกระทำได้ กล่าวคือจำนวนตรงข้ามของ 10 เขียนแทนด้วย -10

จำนวนตรงข้ามของ -3 เขียนแทนด้วย -(-3) แต่จำนวนตรงข้ามของ -3 คือ 3 ดังนั้น -(-3) = 3

 ถ้าเราพิจารณาผลลัพธ์ของ 5 - 3 และ 5 + ( -3 ) เราจะพบว่า 5 - 3 = 2 และ 5 + ( -3 ) = 2

นั้นคือ5 - 3 = 5 + (-3)

แสดงว่า การลบจำนวนเต็มเราสามารถหาได้ในรูปของการบวก ถ้าเราสังเกต 3 และ -3 เราจะเห็นว่า จำนวนดังกล่าวเป็นจำนวนตรงข้ามซึ่งกันและกัน จึงสรุปได้ว่า

ตัวตั้ง - ตัวลบ = ตัวตั้ง + จำนวนตรงข้ามของตัวลบ

หมายเหตุุ การเปลี่ยนรูปแบบในการลบจำนวนเต็มในรูปของการบวก

สิ่งสำคัญ คือ เราต้องมองตัวตั้งและตัวลบให้ได้ก่อนจะทำให้ง่ายต่อการเปลี่ยนรูป

ที่มา:  http://eduvc.oas.psu.ac.th/~user192/content2.html

ระบบจำนวนเต็ม

จำนวนเต็มแบ่งออกเป็น 3 ชนิด

จำนวนเต็มลบ คือ จำนวนที่มีค่าน้อยกว่า ศูนย์ มีตำแหน่งอยู่ทางด้านซ้ายมือของศูนย์เมื่ออยู่บนเส้นจำนวน และ จะมีค่าลดลงเรื่อย ๆ โดยไม่สามารถจะบอกได้ว่าจำนวนใดจะมีค่าน้อยที่สุด แต่เราสามารถรู้ได้ว่าจำนวนเต็มลบที่มีค่ามากที่สุด คือ -1 เราพอจะสรุปลักษณะที่สำคัญของจำนวนเต็มลบได้ดังนี้

1. จำนวนเต็มลบเป็นจำนวนที่มีค่าน้อยกว่าศูนย์ หรือถ้ามองบนเส้นจำนวน ก็คือ เป็นจำนวนที่อยู่ทางซ้ายมือของศูนย์

2. จำนวนเต็มลบที่มีน้อยที่สุดไม่สามารถหาได้ แต่ จำนวนเต็มลบที่มีค่ามากที่สุด คือ -1

3. ตัวเลขที่ตามหลังเครื่องหมายลบ ถ้ายิ่งมีค่ามากขึ้นจำนวนเต็มลบนั้นจะมีค่าน้อยลง

กล่าวคือ ...-5 < -4 < -3 < -2 < -1

ศูนย์ ( ใช้สัญลักษณ์ "0" ) เป็นจำนวนเต็มอีกชนิดหนึ่ง ที่เราไม่ถือว่าเป็นจำนวนนับ จากหลักฐานที่ค้นพบทำให้เราทราบว่ามนุษย์รู้จักใช้สัญลักษณ์ "0" ในราวปี ค.ศ. 800 โดยที่ "0" แทนปริมาณของการไม่มีของหรือของที่ต้องการกล่าวถึง แต่ก็ไม่ใช่ว่า 0 จะไม่มีความหมายถึงการไม่มีเสมอไป ตัวอย่างเช่น ระดับผลการเรียนทางด้านความรู้ โดยนักเรียนที่มีระดับผลการเรียนเป็น 0 ไม่ได้หมายความว่านักเรียนคนนั้นไม่มีความรู้ เพียงแต่ ว่ามีความรู้ในระดับหนึ่งเท่านั้น

จำนวนเต็มบวก หรือ จำนวนนับ คือ จำนวนเต็มที่มีค่ามากกว่า 0 ไปเรื่อย ๆ โดยที่ไม่สามารถระบุได้ว่าจำนวนนับตัวสุดท้ายเป็นอะไร จำนวนนับเริ่มต้นที่ 1 , 2 , 3, ... ซึ่งเราทราบแล้วว่า จำนวนนับที่น้อยที่สุด คือ 1 จำนวนนับที่มากที่สุดหาไม่ได้ คุณสมบัติของศูนย์และหนึ่ง

ที่มา : http://eduvc.oas.psu.ac.th/~user192/content1.html

สมบัติบางประการของจำนวนเต็มบวก

            1.  สมบัติการสลับที่สำหรับการบวก

                    สำหรับจำนวนเต็มบวก  a  และ  b  ใดๆ  จะได้ว่า  a  +  b   =    b  +  a

            2.  สมบัติการสลับที่สำหรับการคูณ

                    สำหรับจำนวนเต็มบวก  a  และ  b  ใดๆ  จะได้ว่า  a • b   =    b • a

            3.  สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มสำหรับการบวก

                    สำหรับจำนวนเต็มบวก  a  , b  และ  c   ใดๆ  จะได้ว่า  (a + b) + c    =   a + (b + c) 

            4.  สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มสำหรับการคูณ

                    สำหรับจำนวนเต็มบวก  a  , b  และ  c   ใดๆ  จะได้ว่า  (a • b) • c    =   a • (b • c) 

            5.  สมบัติการแจกแจง

                   สำหรับจำนวนเต็มบวก a  , b และ  c ใดๆ จะได้ว่า  a • (b + c)   =  (a • b)  +  (a • c) 

            6.  สมบัติของหนึ่ง

                    สำหรับจำนวนเต็มบวก  a  ใดๆ  จะได้ว่า  1 ´ a   =   a   =   a  ´  1

ที่มา : http://eduvc.oas.psu.ac.th/~user192/content6.html

สมบัติของจำนวนจริง

     กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ     1. สมบัติการสะท้อน a = a
     2. สมบัติการสมมาตร ถ้า a = b แล้ว b = a
     3. สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a = b และ b = c แล้ว a = c      4. สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน  ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c      5. สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a = b แล้ว ac = bc

สมบัติการบวกในระบบจำนวนจริง      กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ     1. สมบัติปิดการบวก a + b เป็นจำนวนจริง

    2. สมบัติการสลับที่ของการบวก a + b = b + c
    3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มการบวก a + ( b + c) = ( a + b ) + c
    4. เอกลักษณ์การบวก 0 + a = a = a + 0  นั่นคือ ในระบบจำนวนจริงจะมี 0 เป็นเอกลักษณ์การบวก

   5. อินเวอร์สการบวก a + ( -a ) = 0 = ( -a ) + a  นั่นคือ ในระบบจำนวนจริง จำนวน a จะมี -a เป็นอินเวอร์สของการบวก

 สมบัติการคูณในระบบจำนวนจริง
    กำหนดให้ a, b, c, เป็นจำนวนจริงใดๆ 1. สมบัติปิดการคูณ ab เป็นจำนวนจริง 2. สมบัติการสลับที่ของการคูณ ab = ba
 3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการคูณ a(bc) = (ab)c
  4. เอกลักษณ์การคูณ 1 · a = a = a · 1 นั่นคือในระบบจำนวนจริง มี 1 เป็นเอกลักษณ์การคูณ

  5. อินเวอร์สการคูณ a · a-1 = 1 = a · a-1, a ≠ 0  นั่นคือ ในระบบจำนวนจริง จำนวนจริง a จะมี  a-1 เป็นอินเวอร์สการคูณ ยกเว้น 0  6. สมบัติการแจกแจง

ตัวอย่าง

                    a( b + c ) = ab + ac

                   ( b + c )a = ba + ca
 

สร้างโดย: นางสาวสูชิตา และครูศรนรินทร์

ที่มา http://www.thaigoodview.com/node/51246